1880年的幾個月中，整個美國陷入到「15謎題」遊戲的狂熱中。1880年3月12日，美國堪薩斯州當地一家媒體撰文稱：「15謎題風靡全國各個城市，人們不眠不休，為之瘋狂。」之後，對該遊戲的狂熱又傳到了歐洲、澳大利亞和紐西蘭。
15謎題是個簡單的遊戲：在一個4乘4的框架內，有15個寫著數字1-15的卡片，玩家的任務是移動卡片，讓15張卡片按自然數順序排列。
這個遊戲與古老的中國民間益智遊戲華容道很像，約翰·霍普金斯大學助理教授李易告訴DeepTech，「（卡片）形狀不太一樣，在遊戲精髓上是一樣。」
今天看來，15謎題可能有點過時，但在1880年可不是這樣。當時媒體稱：「再好動的孩子和再古板的成人都無法抵抗絞盡腦汁解決15謎題的誘惑。」不過數學家最終證明：只有一半的卡片組合方式最終可以通過移動實現順序排列。
140年後的今天，15謎題再度引起了科學家的興趣，因為它有助於解釋一個更加複雜的謎題：磁鐵為什麼會產生磁力？
永久磁鐵是一種鐵磁性材料，這種材料的所有電子自旋方向一致，從而產生磁場。具體來說，鐵、鈷和鎳具有巡遊鐵磁性，即內部電子可以自由運動。每個電子具有自己的磁矩，但若要解釋為何所有電子的磁矩能實現方向一致，則需要計算所有電子之間的複雜量子互動，這種工作太過複雜以致幾乎不可能完成。
李易表示，「巡遊鐵磁性是凝聚態物理中最複雜的理論問題之一。」
不過，借助15謎題中的數學工具，李易與她的研究生Eric Bobrow和數學系研究生Keaton Stubis向著解決該問題邁進了一步。他們近期在Physical ReviewB發表的論文將15謎題的數學原理推廣到更普遍、更現實的系統，該工作可能給出對金屬磁性起源的更深的理解。
加州大學聖地牙哥分校的物理學家Daniel Arovas表示，該工作非常值得讚賞。此外，由於巡遊鐵磁性的理論工作很少，因此他個人非常喜歡這項工作。
空穴之舞
電子在金屬中需要服從兩項基本約束。第一，電子帶負電，因此相互排斥。第二，電子必須服從泡利不相容原理，即：2個粒子不能佔據同一個量子態。也就是說，相同自旋方向——自旋與電子磁矩有關——的電子，不能在同一個原子核周圍佔據同一個量子態，但是2個自旋方向相反的電子可以。
根據以上2個約束，大批自由電子最容易出現的狀態是彼此分離，且自旋方向一致，此時金屬對外體現出鐵磁性。
但這只是解釋了結果，而長期困擾物理學家的問題是：如此有序的微觀結構是如何通過電子之間的不計其數的量子互動產生的？李易進一步解釋，一個電子的量子運動——其量子特性的複雜數學描述——可以跟另一個電子的量子運動發生關聯。為了精確地描述一群電子如何產生鐵磁性，你必須對它們做一個整體性描述，因為每一個電子不停地被其他電子的量子運動通過相互作用而關聯。事實上，想用嚴格的數學公式來描述這種複雜的量子關聯是很少能達到的。
李易團隊選擇的方法是，研究一個更簡單，但能表現鐵磁性基本物理性質的模型。事實上，李易的工作是某項50多年前的里程碑工作的拓展。
劍橋大學物理學家、2016年物理學諾獎得主大衛·索利斯（David Thouless）和來自名古屋大學、當時在加州大學聖地牙哥分校訪問的物理學家長岡洋介（Yosuke Nagaoka）分別於1965和1966年獨立發表了自己的工作，這項工作日後被稱為長岡-索利斯理論。該理論基於一個理想化的原子晶格模型。儘管這一理論成立的前提條件與現實中的金屬磁性現象的條件並不一致，其重要性一方面在於第一次解釋了電子自旋方向為什麼會達成一致，另一方面在於該工作的數學證明避免了物理上的近似，確保了精確性。
想像一個2維網格。該網格中的每個節點可以容納2個自旋方向相反的電子，但該理論假定：讓2個電子佔據同一個節點所需要的能量是無窮大，因此實際上每個節點中最多只有1個電子。每個電子的自旋方向只有「上」或「下」兩種取值。每個電子的自旋方向不是固定的，因此該模型未必會對外顯示出鐵磁性。
現在，從模型中移除1個電子，從而產生一個空穴。相鄰電子可以進入這個空穴，把自己原先的位置變成空穴。另一個電子可以進入這個新空穴，產生另一個空穴。如此這般，空穴在各個節點之間運動。長岡和索利斯發現，加入1個空穴，就足以讓剩下的所有電子的自旋方向一致，因為這種狀態——鐵磁性狀態——是最低能態。
另一方面，為了讓整個模型處於最低能態，空穴自由運動的同時，不能擾動電子自旋格局，因為這種行為會需要額外的能量。為了讓電子的運動不影響自旋格局，所有電子的自旋方向必須一致。
東京大學物理學家押川正毅（Masaki Oshikawa）表示，長岡理論是少數幾個可以解釋鐵磁性現象的模型，但該模型離真實情況仍然太過遙遠。
例如，該模型強行設定，2個電子居於同一個節點需要耗費無窮大的能量。但在真實磁體中，這種行為的能量消耗不是無窮大——儘管仍然不小。此外，長岡-索利斯模型只能適用於2維正方和三角網格，以及3維立方網格，但現實存在的鐵磁性金屬，其晶格結構類型豐富得多。
